SEGUNDO PARCIAL DE
MATEMATICA I
Mi´
ercoles 11 de Julio de 2012 - Examen Recuperatorio.
Nombre:
....................................................................
Secci´
on:
..................................................................
Problema
M´
aximo de Puntos
Puntos
1
25
2
30
3
25
4
20
Total
100
Advertencias
¥ Si obtiene una soluci´on err´onea en alg´un problema en que se puede chequear la soluci´on,
se le quitar´
an puntos.
¥ Toda afirmaci´on que forme parte de la resoluci´on de los ejercicios debe ser debidamente
justificada
.
¥ Solamente se responder´an preguntas (de enunciado) durante los primeros 10 minutos del
examen.
¥ No se puede desarmar los cuadernillos del examen. No se puede tener hojas sueltas: todas
las hojas deben estar abrochadas al cuadernillo.
1
Problema 1:
(25 puntos)
1. (15 puntos) Suponiendo que lim
x
→2
g(x) = 0, calcular el
lim
x
→2
g(x)
µ
1
sin(g(x))
− sin(
1
g(x)
)
¶
2. (10 puntos) Funci´
ones decrecientes
(a) Definir funci´
on estrictamente decreciente
en el intervalo (a, b).
(b) Dar ejemplos de
1. una funci´
on que sea estrictamente decreciente y no continua en dos puntos del intervalo
(−1, 3).
2. una funci´
on que sea estrictamente decreciente, continua y no derivable en un punto del
intervalo (−1, 3).
3. una funci´
on que sea estrictamente decreciente en (0, ∞) y tal que el l´ımite de esta funci´on
cuando x tienda a mas infinito no sea menos infinito.
Problema 2:
(30 puntos)
1. (14 puntos) Demostrar que vale la desigualdad
xe
x
≥ e
x
− 1
para todo x positivo.
2. (16 puntos) Decidir si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas, en el caso que sean verdaderas
explicar por qu´
e
, y en el caso que sean falsas buscar un contraejemplo:
(a) Si f es la funci´
on que asigna 0 a los n´
umeros enteros pares y 1 al resto de los n´
umeros reales,
entonces ex´ıste el m´ınimo de f en en el intervalo (2, 7).
(b) Si g es una funci´
on que satisface lim
x
→3
g(x) = +∞ y lim
x
→5
g(x) = −6, entonces existe un
n´
umero c ∈ (3, 5) tal que g(c) = 0.
(c) La funci´
on f (x) = 2 − x
2
3
tiene un m´
aximo
en x = 0.
(d) Si f es una funci´
on derivable que satisface f (0) = 0 y f
0
(x) + f (x)
2
= 0 para todo x ∈ R, entonces
f (x) ≤ 0 para todo x > 0.
2
Problema 3:
(25 puntos)
Dada la funci´
on
f (x) =
½
|2x + 4| si x ≤ 0
x
e
x
+ 4
si
x > 0
Determinar.
• Hallar todos los puntos donde f es continua.
• Hallar todos los puntos donde f es derivable.
• Hallar los intervalos abiertos donde f es estrictamente creciente y donde es estrictamente decreciente.
• Hacer un gr´afico aproximado de la funci´on f.
• Hallar (si existen) el m´aximo y el m´ınimo de f en el intervalo (−3, 4)
• Hallar la imagen de f.
Problema 4:
(20 puntos)
Se corta un alambre de 66 cent´ımetros en dos trozos. Con el primer trozo se forma un rect´
angulo donde
la base es el doble que la altura y con el segundo un cuadrado. ¿Que longitud debe tener el primer trozo
para que la suma de las ´
areas de las dos figuras sea m´
axima
?
3