PRIMER PARCIAL DE
MATEMATICA I
Mi´
ercoles 10 de Julio de 2012 - Examen Recuperatorio.
Nombre:
....................................................................
Secci´
on:
..................................................................
Problema
M´
aximo de Puntos
Puntos
1
25
2
30
3
25
4
20
Total
100
Advertencia:
(1)
Si obtiene una soluci´
on err´
onea en alg´
un problema en que se puede chequear la soluci´
on,
se le quitar´
an puntos.
(2)
Toda afirmaci´
on que forme parte de la resoluci´
on de los problemas debe ser debidamente
justificada
.
1
Problema 1:
(25 puntos)
1. (8 puntos) Dada una funci´
on f de una variable real, ¿c´
omo se define el gr´
afico de la funci´
on f ?
2. (9 puntos) Calcular, explicando en cada paso que propiedad est´
a usando, las funci´
on derivada de
f (x) = x
r
x
2
1 − x
3. (8 puntos) Dadas las siguientes funciones f y g definidas como
f (x) =
½
x
2
Si x < 0
x
Si x ≥ 0
y g(y) = 2y − 3
Hallar (f ◦ g)(x), (g ◦ f)(x) y (f ◦ f)(x).
Problema 2:
(30 puntos)
1. (15 puntos) Encontrar los valores de a en los que la recta tangente de la funci´
on h(s) = 2s
2
− 6s en
el punto a pase por el punto (4, 6).
2. (15 puntos) Las bombas de agua A y B pueden llenar un tanque en dos horas y tres horas respecti-
vamente. La bomba C vac´ıa el mismo tanque lleno en cinco horas. Si todos las bombas se abren al
mismo tiempo cuando el tanque est´
a vac´ıo, ¿cu´
anto tiempo se tarda en llenar el tanque
?
Problema 3:
(25 puntos)
Una escalera de 10 metros de largo est´
a apoyada contra una pared vertical, con su extremo superior a
8 metros del piso. Si la parte inferior de la escalera empieza a resbalar sobre el piso a una velocidad de
1 m/seg., exprese en funci´
on del tiempo la velocidad con que desciende el extremo superior.
2
Problema 4:
(20 puntos)
Se desea construir un tanque con caras laterales rectangulares, con base y tapa cuadradas y una capacidad
de 8 metros c´
ubicos. El material para construir la base y la tapa tiene un costo de 1000$ por metro cuadrado
y el material para construir las caras laterales de 500$ el metro cuadrado.
1. Obtener el costo de construcci´
on del tanque en funci´
on de la longitud x de cada lado de la base
cuadrada.
2. Calcular el costo de construcci´
on del tanque en los casos en que el lado de la base cuadrada sea de 2
metros o de 3 metros. ¿En qu´
e porcentaje aumenta o disminuye el costo del tanque si cambio de 2
metros a 3 metros?
3