INDICACIONES: Indique claramente apellido, nombre, número de legajo y curso en cada hoja que entregue. No solicite indicaciones ni aclaraciones. Indique claramente los planteos de los problemas que resuelva, no serán tenidos en cuenta cálculos dispersos, poco claros o sin comentarios. Defina sucesos, variables aleatorias y comente la solución. SUERTE… DURACIÓN: 2,5 HORAS.
1. (2 puntos) En un depósito D se reciben ciertas unidades de un proveedor que indica que el 2% de ellas tiene defectos. Se implementa un ensayo no destructivo en la recepción que genera un 2% de falsos positivos (identifica como defectuosa una unidad que no lo es) y un 3% de falsos negativos (señala como no defectuosas las unidades que sí lo son). Las unidades que no pasan este ensayo son vendidas a S, un vendedor de artículos de segunda. Este vendedor aplica un proceso correctivo que no afecta las unidades no defectuosas de origen y que corrige el 90% de las unidades defectuosas.
a) ¿Cuál es el porcentaje de unidades defectuosas que S puede asegurar?
b) Un comprador le compra a S una unidad que resulta no defectuosa. ¿Cuál es la probabilidad de que esa unidad haya sido originalmente (al ingreso al depósito D) defectuosa?
2. (2 puntos) La fracción de alcohol en cierto compuesto es una variable aleatoria Y con la siguiente función de densidad de probabilidad: fY(y) = 20 y3 (1 – y), si 0 < y < 1 y : fY(y) = 0 fuera del intervalo (0,1).
Suponga que el precio de venta del compuesto depende del contenido de alcohol. Específicamente: si 0 < y ≤ 1/3 el compuesto se vende a Q $ por litro, si 1/3 < y ≤ 2/3 se vende a 1.5 Q$ por litro y si 2/3 < y entonces se vende a 1.8 Q $ por litro, donde Q es una constante positiva. Obtenga el valor esperado y el desvío estándar del valor de venta de 10000 litros del compuesto.
3. (2 puntos) El contenido de humedad del arroz almacenado es una variable aleatoria con distribución normal. Para la variedad de arroz A el contenido de humedad tiene media 20 y desvío estándar 4. Para la variedad de arroz B la probabilidad de que el contenido de humedad sea mayor que 38.224 es de 0.05 y de que sea menor que 36.408 es 0.90. El arroz se empaqueta en cajas (las variedades no se mezclan) y se almacenan. Se puede suponer que la cantidad de cajas de cada variante es la misma.
a) Si una caja de arroz es extraída al azar y tiene un contenido de humedad inferior a 25, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la variedad A? Nota: redondee a la unidad el valor medio y el desvío del contenido de humedad del arroz B.
b) Se toman al azar 20 cajas de arroz, ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 10 tengan un contenido de humedad inferior a 25? Suponga que el número de cajas en el depósito es muy grande.
4. (2 puntos) En un juego de lotería semanal se extraen al azar y sin reemplazo 4 bolillas entre 20 que están numeradas de 1 a 20. Un jugador gana el premio si en la combinación de 4 números que él eligió hay al menos dos de los números ganadores. Un hombre decide participar de este juego todas las semanas hasta ganar el premio.
a) Obtenga la función de probabilidad del número de semanas que debe jugar hasta obtener el premio.
b) Calcule la probabilidad de que tenga que participar menos de 10 semanas.
5. (2 puntos) La componente horizontal V de la velocidad de una partícula de masa m tiene distribución normal de media nula y desvío estándar σ. Si la partícula se mueve sólo en la horizontal la energía cinética por unidad de masa viene dada por K = ½ V2.
a) Determine el valor esperado y la varianza de K.
b) Obtenga la función densidad de probabilidad de K.