En cada ejercicio escriba los razonamientos que justifican la respuesta.

1. Sean S = {x Î R⁴ / x₁ - x₂ + 2x₃ = 0; x₃ - x₄ = 0}, T ={x Î R⁴ / x₁ - x₂+ 2x₄ = 0; x₁ + x₂ = 0} . Definir, si es posible, una t.l. f: R⁴ ® R⁴ que satisfaga simultáneamente:

Nu f ¹ {0} ; (S + T) Ç Un f = {0} y Un f Ì f(S + T).

2. Sean B = {v1,v2,v3} y B’ = {v1 - v2, 2v2 + v3, v2} bases de un espacio vectorial V.

Sea f: V® V la t.l. tal que MBB’(f) = .

Encontrar los valores de a y b para los cuales f no es isomorfismo y v1 + bv2 - 2v3 Î Imf. Para los valores de a y b hallados, calcular f-1(v1 + bv2 - 2v3) = {v Î V / f(v) = v1 + bv2 - 2v3 }.

3. Encontrar un polinomio P Î R [X] de grado mínimo que tenga por raíces a las soluciones de la ecuación (2 Im z - i Re z)2 = 7 - 24 i .

4. Sea f: R3 ® R3 la t.l. tal que (1,0,1); (4,1,-1) y (0,0,1) son autovectores de f asociados respectivamente, a los autovalores -1, 4 y 3. Calcular f(0,1,-1).

Respuestas:

1. Puede variar.

2.

3. P = (x - (3+2i)) (x - (3-2i) (x - (-3+2i)) (x - (-3-2i)).

4. f(0,1,-1) = (20,4,12).