PENSAMIENTO CIENTIFICO SESION

ORIGEN DE LOS PRIMEROS CONOCIMIENTOS GEOMETRICOS:

Documentos encontrados en la Mesopotamia y Egipto, contenían conocimientos aislados (no articulados). *No se hace referencia a figuras geométricas abstractas sino a cuerpos materiales concretos. *Geometría prehelénica intentaba dar respuesta a problemas de índole cotidiano, obtuvo muchos resultados aproximados. Los conocimientos no configuraban un sistema (no estaban relacionados entre sí ni organizados)

GEOMETRIA GRIEGA:

Siglo VII a.C, comienza a desarrollarse una forma de pensamiento para explicar fenómenos naturales. La posición geográfica} factor importante + razones de índole política y social ( que permite explicar el desarrollo intelectual de los riegos) *Intentaban dar explicaciones a los fenómenos sin apelar a mitos/ elementos sobrenaturales. Surgieron pensadores como TALES DE MILETO, ANAXIMANDRO Y ANAXIMENES. *nació el termino ciencia.

*Los conocimientos prácticos, basados en la experiencia, tenían que poder explicarse a partir de nociones teóricas.

*Conocimientos concretos, singulares y sin articulación pasaron a ser abstractos y de un grado mayor de generalización.

{TALES DE MILETO}

*Primeros matemáticos y astrónomos griegos, primeros en utilizar métodos deductivos en la geometría.

*Principal contribución fue el tratamiento general de problemas geométricos (formular y aplicar propiedades de carácter general).

*Ejemplo del perímetro.

EUCLIDES Y LA GEOMETRIA:

*Logro sistematizar los conocimientos geométricos (finalidad no era la resolución a la manera de egipcios y babilonios)

{Sistematizar} presentar los enunciados de manera articulada, organizada y estructurados entre si (como van infiriéndose uno de otro)

*Obra + importante de Euclides = ELEMENTOS.

Tuvo gran relevancia en el desarrollo de la geometría, se perfeccionan y sistematizan los conocimientos geométricos.

La ciencia es un conjunto de afirmaciones sobre un determinado objeto (afirmaciones generales y necesariamente verdaderas)

Las afirmaciones debían estar articuladas de modo orgánico, mediante un razonamiento lógico que pueda apoyar esas afirmaciones.

Términos PRIMITIVOS de los cuales se definen otros.

Elementos se basa de 13 libros:

4 primeros específicamente referidos a la geometría

En el 1ero de los 4 Euclides distingue una serie de enunciados que se aceptan sin demostración de los cuales se van a poder demostrar el resto de los enunciados.

Distingue 3 tipos de de principios:

*Postulados (AXIOMAS): se refieren a una ciencia en particular, en la geometría son 5. La 5ta se conoce como Postulado de las paralelas, tiene una complejidad mayor que los otros 4 y dará lugar a intensas discusiones y cambios importantes.

Los 3 primeros demuestran que no hacen referencia a ningún problema concreto.

Euclides no se preocupaba por las limitaciones prácticas, una línea recta puede trazarse entre 2 puntos (aunque no podamos hacerlo en la práctica por la presencia de montañas, mares, etc.).

*Nociones comunes: cuestiones generales que pueden aplicarse en la geometría, la ciencia o la vida cotidiana.

Ejemplos: Cosas iguales a una misma cosa iguales entre sí.

El todo es mayor que cualquiera de sus partes.

*Definiciones: Euclides define a los términos con los que trabaja, como punto o recta.

A partir de los postulados y nociones comunes, Euclides obtiene (deductivamente) una serie de enunciados llamados por las proposiciones o teoremas.

Teoremas: Enunciados universales, enunciados verdaderos, se obtienen deductivamente de los postulados y nociones comunes.

EL PROBLEMA DEL QUINTO POSTULADO:

*Si la recta c corta a las rectas {A y B} y la suma de los ángulos {a y b} es menor que 2 rectos (180°) entonces las rectas {A y B} se cortan en el punto P.

Para Euclides los axiomas (postulados) tienen una verdad evidente aunque en el 5to postulado resulta ser mucho menos evidente que en los 4 anteriores.

La falta de evidencia hizo que los geómetras plantearan que el postulado era en realidad un teorema. Si esto fuera asi podría afirmarse que no era independiente de los otros 4.

{AXIOMA es independiente si no puede deducirse de los demás axiomas en el sistema]

Jhon Playfair: matemático elaboro otra versión del quinto postulado.

*Por un punto exterior a una recta, puede trazarse una única paralela a dicha recta.

Posidonio y Gémino intentaron demostrarlo, aunque la ciencia permaneció parada un largo tiempo en Europa y luego en el S. XVI se retomaron las demostraciones.

EL TRABAJO DE SACHERI:

1733, Sacheri presenta un enfoque metologico diferente a los anteriores mencionados para demostrar el 5to postulado.

{Demostración indirecta} intenta probarlo partiendo de los postulados 1 a 4 y de la negación del quinto.

Negándolo suponía encontrar una contradicción que le permitiría concluir la afirmación del quinto postulado.

Negarlo consiste en afirmar alguno de los dos enunciados.

Caso 1: …, no pasa ninguna paralela. (Tuvo contradicciones)

Caso 2:…, pasan más de una paralela. (No tuvo contradicciones)

Los geómetras rechazaron estas 2 hipótesis.

Continúo el intento por demostrar el 5to postulado y se sostiene que el sistema euclideo era el único geométrico posible.

GEOMETRIAS NO EUCLIDEANAS

Gauss vio con claridad la independencia del 5to postulado.

*Postulado o axioma es independiente cuando no puede deducirse de otros.

Si el postulado del 5to fuera independiente podría ser reemplazado por otro diferente.

Gauss lo reemplazo: {por un punto exterior a una recta, pueden trazarse infinitas paralelas a dicha recta}

Demuestra teoremas distintos de los de la geometría euclidea.

*La suma de los ángulos interiores según Gauss es menor a 180°.

1826 Lobachevski desarrollo un sistema geométrico que retomaba los 4 primero axiomas y agregaba otro donde afirmaba la existencia de infinitas paralelas (en acuerdo con Gauss y Bolyai)

Se denominó Geometría hiperbólica.

1854 Riemman exploro consecuencias que surgían al negar el 5to postulado suponiendo la inexistencia de rectas paralelas.

Se denominó Geometría elíptica.

En este sistema la recta es cerrada, tampoco se cumple el 2do postulado. Si es cerrada no puede ser infinita.

Riemman evitaba las contradicciones halladas por Sacheri, como consecuencia se puede probar que la suma de los ángulos interiores es mayor a 180°.

Conclusión: CUADRO.

Los sistemas axiomáticos fueron creados como estructuras formales, partiendo de enunciados lógicos permitían construir estructuras coherentes que no referían a ninguna entidad concreta.

Si hablamos de punto o recta no se hace referencia a algo particular o entidad especifica.Terminos cuyos comportamientos quedan establecidos por axiomas.

EJ: Sistema axiomático referido a regímenes de gobierno

1. Presidente es electo por el pueblo

2. El mandato dura 4 años

3. Luego del primer mandato, puede ser reelecto

4. Luego del segundo mandato, no puede ser reelecto.

Podemos pensar que los axiomas son V. Nuestra constitución establece esas condiciones. Aunque no resultan V en otros países que tienen otras formas de gobierno.

Un sistema que contase con con estos principios en CONSISTENTE. No deriva de ellos contradicción alguna.

EJ 2:

1. =

2. =

3. =

4. Luego del segundo mandato, puede ser reelecto.

No describe a la Argentina sigue siendo una estructura política posible (para otros países).

Los 2 sistemas son lógicos y consistentes.

En cambio, EJ 3.

1. =

2. =

3. =

4. El presidente NUNCA puede ser reelecto.

Surge una contradicción, este sistema no es consistente. Por lo tanto no puede implementarse.

EJ 4:

1. El presidente electo desarrolla superpoderes

2. Los superpoderes dura mientras dura el mandato

3. Luego del mandato el presidente no puede recuperar los s.

Este sistema es consistente independientemente si se pueda o no implementar en la realidad.

No hacen referencia a ninguna entidad específica aunque podrían aplicarlo para el estudio de casos particulares.

La geometría EUCLIDEANA era la geometría del espacio y las otras a fines de ficción.

Las geometrías NO EUCLIDEANAS permitían interpretar el universo en el que vivimos.

SISTEMAS AXIOMATICOS DESDE UNA PERSPECTIVA CONTEMPORANEA

Axiomas: enunciados que se aceptan sin demostración y constituyen puntos de partida de las demostraciones, no se exige que sean V. Son los puntos de partida del sistema.

No refieren a entidades específicas.

Teoremas: enunciados que se demuestran, se obtienen deductivamente a partir de otros enunciados mediante reglas de inferencia.

Sistemas Axiomáticos deben incluir las reglas de inferencia. Estas garantizan que si se parte de enunciados V, la conclusión lo será. {AXIOMAS V TEOREMAS V}

Demostraciones: parten de axiomas o teoremas demostrados previamente y por aplicación de RI obtienen nuevos teoremas.

Los axiomas} premisas

Los teoremas} conclusión

Enunciados compuestos por términos:

*Términos lógicos (todos, son, pasan por, si entonces, y, o )

*Términos no lógicos (recta, punto, triangulo, circulo, etc)

*Términos primitivos: se aceptan y emplean sin definición.

*Términos definidos: se definen de los primitivos.

Reglas de formación: Indican cómo combinar los diferentes términos para dar lugar a expresiones complejas bien formadas.

SELECCIÓN DE LOS AXIOMAS

*Si tomaramos un punto de partida y A se deduce de B y B de C caeríamos en una regresión al infinito.

*si de A se deduje C caeríamos en un circulo vicioso.

Para no caer en estas dos opciones hay que aceptar algunos enunciados sin demostración.

Hay que preguntarse la verdad de los axiomas cuando el sistema haya sido INTERPRETADO

PROPIEDAD DE LOS SISTEMAS AXIOMATICOS

*INDEPENDENCIA: no puede demostrarse a partir de los demás enunciados del sistema. Para que un sistema axiomático sea considerado como tal, todos sus axiomas deben ser independientes. No es estrictamente necesario.

*CONSISTENCIA: un enunciado y su negación no pueden ser probados simultáneamente dentro del sistema (habría una contradicción). Requisito necesario.

*COMPLETITUD: permite demostrar todo lo que se pretende demostrar a la hora de construir el sistema.