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EXAMEN FINAL DE MATEMÁTICA I. 19 DE FEBRERO DE 2014 (RESUELTO)

1 a) Resolver analíticamente el sistema :

Rta: Único punto de intersección (x, y) = (0, 1)

b) Representar gráficamente las curvas del sistema anterior

2. Hallar el valor de k para que los vectores (0, 1, -2), (k, 1, -1) y (-3, 2, 1) constituyan una base de . Justificar.

Debe ser el determinante distinto de cero, para que resulten linealmente independientes:

Rta.: k -3/5. Constituyen una base de porque son tres vectores de , linealmente independientes.

3. Escribir las ecuaciones cartesianas del subespacio de de dimensión 1 que es perpendicular al plano

El subespacio es la recta de : X = t (2, -1, 1). La matriz tiene rango 1. Luego

= 0,

Rta: Las ecuaciones cartesianas son: -x - 2y = 0, x -2z = 0.

4. Dada A = a) Investigar, sin resolverlo, si el sistema A.X = 0 tiene solución única. Justificar.

Det. (A) = = 0

Rta.: El sistema A.X = 0 no tiene solución única porque el det. (A) es nulo.

b) Hallar una base del espacio de soluciones del sistema del ítem a).

Dimensión = n – r = 3 – 2 =1. Base de 1 vector. La solución del sistema es (z, z, z).

Rta: una base es:

5. Indicar, en cada caso, si el conjunto de vectores es linealmente dependiente o independiente.

Justificar.

Rta.: Son 3 vectores de , 3 , por teorema los vectores son linealmente dependientes.

b) r = 2. Rta: Los vectores son linealmente independientes.

c) Rta: Los vectores son linealmente independientes.

d) Rta: Por Convención un vector es siempre linealmente independiente.

6. a) Calcular la dimensión del subespacio de generado por los vectores A = (0, 1, -2),

B = (1, -1,-2) y C = (-1, 2, 0).

C = A – B, pero A y B son linealmente independientes; por lo tanto la dimensión es 2.

b) Escribir la ecuación cartesiana de dicho subespacio. Rta: 4x +2y +z =0.

7. Escribir la ecuación vectorial de la intersección de los siguientes planos de :

Rta: X = u (1/2, 1, 0) + v (-3/2, 0, 1) u y v reales arbitrarios.

8. a) Definir subespacio de un espacio vectorial real. Ver libro del Dr. Novelli, Cap. III.

b) ¿El conjunto de todos los vectores (x, y, z) de tales que x +2y = 0, x –y = z -2 es un

subespacio de ? Justificar.

Rta: No es un subespacio porque en el conjunto no está el vector nulo.

Sólo para alumnos libres

9) Demostrar que si A es una matriz de orden n, tal que existe , entonces det ( ) =

Demostración: En efecto, A.

det(A. ) = det. (I), como el det.de un producto es el producto de

los det. , resulta det.(A) . det.( , y entonces

det( ) =