MATEMÁTICA Y METODOLOGÍA PARA SU ESTUDIO
EJERCITACIÓN PRE PARCIAL. SEGUNDO EXAMEN PARCIAL
LICENCIATURAS E INGENIERÍA AMBIENTAL
La ejercitación preparcial tiene como propósito poner en juego los conocimientos que us-ted ha construido durante el desarrollo de las sucesivas unidades.
Además, esta ejercitación tiene una estructura similar a la del propio examen parcial, con el fin de que usted conozca el tipo de preguntas con las que será evaluado y se familiarice con el modo de responderlas.
Confiamos en que resolviendo la ejercitación preparcial usted conseguirá avanzar en la construcción de sus conocimientos, y, a la vez, podrá “simular” la situación de examen.
La ejercitación preparcial consta de dos partes, que identificaremos como Parte I y Parte II. La Parte I está conformada por preguntas seguidas de cuatro posibles respuestas, sólo una de las cuales es correcta. La Parte II está conformada por preguntas cuyas respues-tas usted debe desarrollar.
El examen parcial constará, también, de Parte I y Parte II; el formato de los ejercicios y problemas de cada Parte serán similares a los de esta ejercitación, aunque, desde ya, los ejercicios y problemas no serán los mismos, ni tampoco lo será necesariamente su canti-dad.
Para reconocer la respuesta correcta a los ítems de la Parte I, en muchos casos usted va a necesitar hacer cálculos, dibujos, planteos, etcétera (el día del examen usará para eso papeles borradores, que NO deberá entregar junto con el examen). Una vez que haya encontrado la respuesta, consignará la letra que la identifica (a, b, c o d) en el casillero correspondiente de la Hoja de Respuestas que aparece al final (el día del examen es in-dispensable que no olvide transcribir sus respuestas a esa Hoja, y que lo haga cuidando no cometer errores en la transcripción; tenga en cuenta que su profesor corregirá sobre esa Hoja).
En cuanto a la Parte II: sus desarrollos deberán ser claros y estar acompañados de las explicaciones necesarias para justificarlos (el día del examen, usted deberá entregar esos desarrollos junto con el examen).
1. La fórmula de una función cuadrática es y = 2 . (x + 3) . (x − 1). El vértice de la parábola que representa a la función es el punto
a) (− 1 ; − 8).
b) (3 ; − 1).
c) (− 3 ; 1).
d) (− 2 , − 6).
2. y = a (x − m)2 + n es la fórmula de una función cuadrática; el gráfico de la función es una parábola cóncava hacia abajo, cuyo vértice es el punto (0 ; 5).
La información disponible permite asegurar que
a) a es negativo, m es positivo y n vale cero.
b) a es negativo, m vale cero y n es positivo.
c) a es positivo, m es negativo y n vale cero.
d) a es positivo, m vale cero y n es negativo.
3. La fórmula n(t) = t2 – 10t + 36 expresa la relación entre el tiempo t (en horas) transcurri-do desde la apertura de una compuerta sobre el río Los Sauzales, y el nivel de agua n (en metros) del río en el puerto La Esperanza, situado río abajo de la compuerta; la fórmula es válida durante 12 horas.
¿Cuál de las siguientes afirmaciones referidas a la situación es FALSA?
a) El nivel de agua del río Los Sauzales en La Esperanza cuando se abrió la compuerta era de 36 metros.
b) Durante las 12 horas consideradas, el nivel de agua del río Los Sauzales en La Espe-ranza alcanzó un mínimo de 11 metros.
c) El río Los Sauzales empezó a crecer a la altura de La Esperanza 5 horas después de que se abriera la compuerta.
d) 12 horas después de abierta la compuerta, el nivel de agua del río Los Sauzales en La Esperanza era el mismo que al momento de abrirla.
4. La función cuadrática cuya fórmula es y = 2x2 − 8x + c carece de ceros a) si c < 8.
b) si c = 8. c) si c > 8.
d) cualquiera sea el valor de c.
5. El intervalo real (– 1 ; 5) es el conjunto solución de una de las siguientes inecuaciones. ¿De cuál de ellas?
a) (– 1) . (x + 2) . (x – 6) > 0
b) (– 1) . (x + 2) . (x – 6) < 0
c) (– 1) . (x + 1) . (x – 5) > 0
d) (– 1) . (x + 1) . (x – 5) < 0
2
6. La parábola P, de fórmula y = x2 + 5, se obtuvo desplazando la parábola Q 2 unidades hacia la izquierda y 1 unidad hacia arriba. ¿Cuál es la fórmula de la parábola Q?
a) y = (x − 2)2 + 1
b) y = (x + 2)2 + 4
c) y = (x − 2)2 + 4
d) y = (x − 4)2 + 2
7. Preste atención a las siguientes fórmulas:
|
f1(x) = 5x3 − 2x + 3x – 1 |
f2(x) = 2 |
f3(x) = |
1 |
x − |
2 |
|
5 |
|||||
|
3 |
|||||
¿Cuál o cuáles de ellas puede ser la fórmula de una función polinómica?
a) Ninguna de las tres.
b) Sólo f3(x).
c) Sólo f2(x) y f3(x).
d) Las tres.
8. Los gráficos de dos funciones polinómicas son:
La fórmula de una de las funciones es f(x) = x3. ¿Cuál de las siguientes es la fórmula de la otra función?
a) g(x) = − (x − 2)3 + 1
b) g(x) = (x − 2)3 + 1
c) g(x) = − (x + 2)3 + 1
d) g(x) = (x + 2)3 − 1
9. La fórmula de una función polinómica es: f(x) = 2 . x3 . (x − 1) . (x2 + 9) . (x − 4)5
Dante, un estudiante del Curso de Ingreso, afirma que el grado de la función es 11, que su conjunto de ceros es C0 = {0 , 1 , 4} y que el coeficiente principal de su fórmula es 2. Federico, otro estudiante, sostiene que la función sólo es negativa en el intervalo (1 ; 4).
¿Quién o quiénes están EQUIVOCADOS?
a) Ni Dante ni Federico.
b) Tanto Dante como Federico.
3
d) Sólo Federico.
10. La cantidad de agua (en miles de metros cúbicos) contenida en una pequeña represa desde dos semanas antes de la última lluvia, y hasta dos semanas después, evolucionó según una función par de fórmula polinómica; el término independiente de la fórmula es 72; la función es decreciente en el intervalo [− 2 ; 0].
Felipe, uno de los ingenieros que controlan la represa, afirma que la información disponi-ble permite asegurar que la cantidad de agua en la represa 1 semana después de la últi-ma lluvia era la misma que 1 semana antes de esa lluvia.
Gracia, una ingeniera, sostiene que la información disponible permite garantizar que en el lapso considerado nunca hubo menos de 72 mil metros cúbicos de agua en la represa.
¿Quién o quiénes tienen razón?
a) Los dos.
b) Sólo Felipe.
c) Sólo Gracia.
d) Ni Felipe ni Gracia.
11. ¿Cuál de los siguientes puede ser el gráfico de la función polinómica de fórmula f(x) = (x + 1) . (x − 2)2?
12. Lea con atención las siguientes afirmaciones:
Afirmación I: Si n es un número natural impar, entonces x + a es un factor en la factoriza-ción de xn + an.
Afirmación II: Si n es un número natural impar, entonces x − a es un factor en la factoriza-ción de xn − an.
Afirmación III: Si n es un número natural par, entonces x + a es un factor en la factoriza-ción de xn − an.
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Afirmación IV: Si n es un número natural par, entonces x − a es un factor en la factoriza-ción de xn − an.
¿Cuántas de las afirmaciones anteriores son ciertas?
a) Sólo una.
b) Sólo dos.
c) Sólo tres.
d) Las cuatro.
x − 1
13. El dominio natural de f(x) = + 3 es x2 + x − 2
a) R − {− 2}
b) R − {0}
c) R − {− 1, 2}
d) R − {− 2, 1}
14. El diámetro de las ruedas traseras de un tractor es el doble del de las ruedas delante-ras. Mientras las ruedas traseras dan 8 vueltas, ¿cuántas vueltas dan las ruedas delante-ras?
a) 4
b) 12
c) 16
d) La información disponible no permite saberlo.
15. Considere la función f : Dn f R / f(x) = . ¿Cuál de las siguientes afirmaciones x − 1
referidas a f es correcta?
a) f es una función creciente en todo su dominio.
b) C+ = Dn f
c) C0 = {1}
d) f es inyectiva.
x 2
16. Uno de los siguientes gráficos representa a la función f : Dn f R / f(x) = . ¿De x 4 + 1
cuál de ellos se trata?
a) b)
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17. ¿Cuáles son las ecuaciones de la asíntota horizontal y de la asíntota vertical (en ese
orden) de la función r : Dn r R / r(x) = − 2x − 1 ? x + 1
a) y = 2, x = − 1
b) y = − 2, x = 1
c) y = − 1, x = − 2
d) y = − 2, x = − 1
18. F : Dn F R es una función racional impar, y x = 0 NO es asíntota vertical de F. ¿Cuál de las siguientes puede ser la fórmula de F?
1. La fórmula v = - 5 (t - 3)2 + 80 pertenece a la función que a cada instante (t, en horas) le hace corresponder la velocidad del viento (v, en km/h) en ese instante, en la ciudad de Los Robles, entre la medianoche y las siete de la mañana del día de ayer.
a) ¿Cuál es el dominio de la función? ¿Qué significado concreto tienen sus elementos en el contexto de la situación?
b) ¿Cuál es el conjunto imagen de la función? ¿Qué significado concreto tienen sus ele-mentos?
c) Determine por medio de una ecuación a qué hora dejó de soplar el viento sobre Los Robles en el lapso considerado. En el lenguaje de las funciones, ¿qué calculó?
d) ¿Cuál fue la mayor velocidad alcanzada por el viento en el lapso considerado? ¿A qué hora se registró? ¿Con qué punto del gráfico de la función que describe la situación se relacionan sus respuestas?
2. ¿Para qué valores de x los puntos de la parábola y = 3 (x − 3)2 están “por encima” de los de la parábola y = (− 1) . (x − 1) . (x − 5)?
3. f, g y h son tres funciones polinómicas, sobre las que se cuenta con la siguiente infor-mación:
f(x) = g(x) . h(x)
g(x) es un cuatrinomio cubo perfecto.
El conjunto de negatividad de g es C- = (− ∞ ; − 2). h es una función cuadrática.
El vértice del gráfico de h es (3 ; 1).
Los ceros de h, x1 y x2, verifican d(x1 ; x2) = 4. Determine:
a) El grado de f.
b) El signo del coeficiente principal de f. c) El conjunto de los ceros de f.
4. Considere la función f : [− 3 ; 3] R cuya fórmula es f(x) = x4 − 8x2 + 16.
a) Determine C0, C- y C+.
b) Averigüe f(0).
c) En base a la información que obtuvo en a) y b), trace el gráfico (aproximado) de f.
d) ¿Cuáles son los intervalos de decrecimiento de f? ¿Y los de crecimiento?
e) ¿Cuáles son los valores mínimos y máximos de f, si los hubiera? ¿En qué valores de x los alcanza?
f) Lo invitamos, ahora, a imaginar… Suponga que f(x) representa el flujo luminoso (en mi-les de lúmenes) en cada instante x (en horas), en las oficinas de una empresa que posee un sistema automático de iluminación. ¿Qué relación podrían tener los ceros de f, sus in-tervalos de decrecimiento y de crecimiento y sus valores mínimos y máximos con la acti-vidad en esas oficinas? Proponga una interpretación en la que estos elementos (ceros, intervalos de decrecimiento y crecimiento, valores extremos) tengan sentido.
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g) Siga imaginando… Suponga que f(x) representa la cantidad de hogares por debajo de la línea de pobreza en un país (en miles) en función del tiempo x (en años), durante tres años. ¿Qué relación podrían tener los ceros de f, sus intervalos de decrecimiento y de crecimiento y sus valores mínimos y máximos con los acontecimientos de la historia del país en esos tres años? Proponga una interpretación en la que estos elementos (ceros, intervalos de decrecimiento y crecimiento, valores extremos) tengan sentido.
5. En un laboratorio estudian cómo varía la altura de un objeto sometido a la acción del calor en un hornillo. La altura h (cm) del objeto al cabo de t horas de haber encendido el
hornillo está dada por la fórmula h(t) = − 100 + 12 (t + 50) . ¿Cuál debería ser, como mí-t + 50
nimo, la altura del gabinete del hornillo, para que dicho gabinete no resulte dañado si el proceso de calentamiento se prolonga en el tiempo?
6. La fórmula de cierta función racional es f(x) = p(x) , donde p y q son funciones polinó-q(x) micas.
a) ¿Qué puede decir de q(a) si a es un cero de p y f(a) = 0?
b) ¿Qué puede decir de p(k) y q(k) si x = k es la ecuación de una asíntota vertical de f?
c) Analice el valor de verdad de la siguiente afirmación: Si p fuera una función cuadrática con dos ceros reales distintos, y q fuera una función lineal cuyo único cero coincide con uno de los de p, el gráfico de f sería una recta.