Altillo.com > Exámenes > UBA - Ciencias Exactas > Análisis I

Respuestas:

1) Aclaro algo que me aclararon el día del parcial: Donde dice f^3 (x), quiere decir (f(x))^3, o sea, f(x) al cubo, NO LA TERCERA DERIVADA DE f(x)!!!

Se tiene que llegar a que el resto sea (c.cos(c).x^4):4! . Como c está entre (0;0,4), reemplazamos eso. Como el módulo del coseno tiende a 1, "se tacha").

Así, nos tiene que quedar ((0,4)^5)4! , que es exactamente 4,26.10^-4 (vale lo mismo que lo que lo que nos piden que aproximemos).

2) Acá hay que derivar ambos lador, el de la izquierda por el TFC (Teorema Fundamental del Cálculo)
Pasamos el 5 al otro lado, y tenemos que elevar ambos lados a la e, para que se nos vaya el ln.
Nos tendría que haber quedado (5x+2) como variable, por eso, tenemos que usar un cambio de variable. Yo tomé y=5x+2

Con esto, integramos f(y). Para sacar el valor de la constante c, usamos el dato del enunciado.

Tiene que quedar f(y)=e^y - 5y + 9

3) Hay que buscar las intersecciones, para eso igualamos ambas funciones. Las intersecciones tienen que ser x=0 , x= -8; x=8 (para sacarlo, pasen todo de un lado, y saquen factor común x, ahí sale)

Después, para elaborar el gráfico aproximado, se evalúan f y g en 1 y -1 respectivamente, para saber cuál va por abajo de cuál. f va por debajo para x=1, y para x=-1, g va por debajo.
Quedan delimitadas dos áreas, A1 y A2, que son exactamente iguales.

Para integrar, por las propiedades de las itnegrales, conviente separarlas, y ver cada una por separado (como hay un singo menos, se puede hacer). Con la de g(x), conviente usar sustitución (u=x^2 + 17)

A1 da 1,32, multiplicado por dos, la respuesta es:
Área=2,64

4)Hay que usar el criterio de Cauchy. Les va a quedar Módulo de (x-4) sobre 4, de ahí sale que es convergente entre (0,8). Después de evaluar en los bordes, queda que la serie converge entre [0,8]

(por si lo necesitan más resumido)

1) 4,26.10^-4
2) f(y)=e^y - 5y + 9
3) Área=2,64
4) [0,8]