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1.5 Ejercicios
1.5.1. En las siguientes deducciones:
1. Indique qu� reglas de inferencia del m�todo de deducci�n natural se aplicaron en cada uno de los pasos.
2. Explicite la estructura l�gica de estas reglas de inferencia.
3. Se�ale qu� premisas o enunciados se emplearon en cada caso.
4. Responda las preguntas que se formulan en cada caso.

(pg. 115 - 116)

d) 1. Pa
2. PbQab Pa(PbQab)
3. Pa(PbQab) I, 1,2


e) 1. (RabQab)(RabPb) RabPb
2. RabPb


f) 1. QbxPx
2. (xPxQa)Rab RabQb
3. Qb E, 1
4. Rab E, 2
5. RabQb I, 3, 4


g) 1. QaySy
2. (QaySy)(PabRb) PabRb
3. PabRb E1,2


h) 1. Qb
2. Rac(RacQc) QcQb
3. Rac E, 2
4. RacQc E, 2
5. Qc E, 3, 4
6. QcQb I, 1, 5


i) 1. x(PxQbx) PaQba
2. PaQba E, 1


j) 1. QbPb
2. x(QxRxa) Rba
3. Qb E, 1
4. QbRba E, 2
5. Rba E, 3, 4

k) 1. RacQa
2. Pa x(PxRxc)
3. Rac E, 1
4. PaRac I, 2, 3
5 x(PxRxc) I, 4


l) 1. PaQab
2. PaPb PbxRx
3. Pa E, 1
4. Pb E, 2, 3
5 PbxRx I, 4


1.5.2. Construya una deducci�n de la conclusi�n de cada uno de los siguientes razonamientos a partir de sus premisas, empleando las reglas del m�todo de deducci�n natural que no requieran supuestos.

(pg.120 � 122)


d) 1. RaPc
2. RcQac Ra(RcQac)
3. Ra E, 1
4. Ra(RcQac) I, 2 y 3


e) 1. RabPa
2. (RabQab)(RabPb) Pb
3. (RabPb) E, 2
4. Rab E, 1
5. Pb E, 3 y 4


f) 1. PabySy
2. Pab ySyQb
3. ySy E, 1 y 2
4. ySyQb I, 3


g) 1. Pb
2. x((PxQx)Rax) Rab
3. (PbQb)Rab E, 2
4. PbQb I, 1
5. Rab E, 3 y 4


h) 1. x(PxaPxb)
2. Pca Pcb
3. PcaPcb E, 1
4. Pcb E, 3 y 4


i) 1. QaySy
2. (QaySy)(PabRb) xRx
3. (PabRb) E, 1 y 2
4. Rb E, 3
5. xRx I, 4



j) 1. (PaQa)Sab
2. PaQa zSaz
3. Pa E,2
4. PaQa I,3
5. Sab E, 1 y 4
6. zSaz I, 5


k) 1. xRx
2. RbyPy zPz
3. Rb E,1
4. yPy E, 2 y 3
5. Pa E, 4
6. zPz I, 5


l) 1. xPxxQx x(PxQx)
2. xPx E, 1
3. xQx E, 1
4. Pa E, 2
5. Qa E, 3
6. PaQa I, 4 y 5
7. x(PxQx) I, 6


m) 1. SaxPx
2. xPxRc
3. Sa xRxQb
4. xPx E, 1 y 3
5. Rc E, 2 y 4
6. xRx I, 5
7. xRxQb I, 6


n) 1. Pay(QyRy)
2. y(QyRy)Sa
3. PaTa x(SxTx)
4. Pa E, 3
5. y(QyRy) E, 1 y 4
6. Sa E, 2 y 5
7. Ta E, 3
8. SaTa I, 6 y 7
9. x(SxTx) I, 8



2.5 Ejercicios
Para cada uno de los siguientes razonamientos, elabore una deducci�n de su conclusi�n a partir de sus premisas, empleando reglas del m�todo de deducci�n natural que requieran la introducci�n de supuestos y deducciones auxiliares. Indique cu�l es el sub-objetivo perseguido en cada deducci�n auxiliar.

(pg. 135-136)


d) 1. PaQa
2. (QaPa)Rb PaRb
3. Pa Rb
4. Qa E, 1 y 3
5. PaQa I, 3 y 4
6. Rb E, 2 y 5
7. Rb DN, 6
8. PaRb I, 3 - 8


e) 1. Qa x(PxQx)
2. Pa Qa
3. Qa Rep, 1
4. PaQa I, 2 - 3
5. x(PxQx) I, 4


f) 1. (PbQb)(xRxSb)
2. xRx y(PyQy)
3. y(PyQy) 
4. PbQb E, 3
5. xRxSb E, 1 y 4
6. xRx E, 5
7.  E, 2 y 6
8. y(PyQy) I, 3 - 7


g) 1. x(PxQxa)
2. Qca PcyRy
3. Pc 
4. PcQca E, 1
5. Qca E, 3 y 4
6.  E, 2 y 5
7. Pc I, 3 � 6
8. PcyRy I, 7



h) 1. PaQb
2. y(QySy)Ra (PaTb)Ra
3. PaTb Ra
4. Pa E, 3
5. Qb E, 1 y 4
6. QbSb I, 5
7. y(QySy) I,6
8. Ra E, 2 y 7
9. (PaTb)Ra I, 3 - 8


i) 1. xPxQa
2. yRySa
3. x(SxQx)Tb (xPxyRy)Tb
4. (xPxyRy) Tb
5. xPx E, 4
6. yRy E, 4
7. Qa E, 1 y 5
8. Sa E, 2 y 6
9. SaQa I, 7 y 8
10. x(SxQx) I, 9
11. Tb E, 3 y 10
12. (xPxyRy)Tb I, 4 - 11


j) 1. x(PxQx)
2. x(RxSx)
3. x(PxRx) x(QxSx)
4. PaQa E, 1
5. RaSa E, 2
6. PaRa E, 3
7. Pa QaSa
8. Qa E, 4 y 7
9. QaSa I, 8
10. Ra QaSa
11. Sa E, 5 y 10
12. QaSa I, 11
13. QaSa E, 6, 7-9, 10-12
14. x(QxSx) I, 13



k) 1. PabQa
2. RbQa (RbPab)
3. (RbPab) 
4. Rb E, 3
5. Pab E, 3
6. Qa E1, 5
7. Qa E2, 4
8.  E, 6, 7
9. (RbPab) I, 3 � 8


l) 1. y(PyQy)
2. x(RxPx)
3. yQy xRx
4. xRx 
5. PaQa E, 1
6. RaPa E, 2
7. Ra E, 4
8. Pa E, 6 y 7
9. Qa E, 5 y 8
10. Qa E, 3
11.  E, 9 y 10
12. xRx I, 4 - 11


3. 4 Ejercicios
3. 4. 1. En cada una de las siguientes deducciones
1. Indique qu� reglas del sistema se aplicaron
2. Determine si esas reglas se aplicaron correctamente
3. si encuentra alg�n error, explique en qu� consiste.

(pg. 145 � 147)

l) l. xPxx yPby
2. Pbb E, 1 Ni la regla E, ni la regla I presentan restricciones
3. yPby I, 2


ll) 1. xPxa xyPxy
2. xyPxy I,1 Aplicaci�n incorrecta porque �a� no es un par�metro propio, ya que �a� est� en la premisa.


m) 1. Pbb xPxb
2. xPxb I,1 Aplicaci�n correcta.


n) 1. xPxax xPxaa
2. xPxaa �? Regla incorrecta. Para poder sustituirse toda aparici�n de la variable �x� por la constante �a�, debe eliminarse el cuantificador


�) 1. xPxax Paaa
2. Paaa E, 1 Aplicaci�n correcta. Un cuantificador universal puede instanciarse mediante cualquier constante, inclusive con una constante que figura en una premisa.


o) 1. xPxax Pbab
2. Pbab E, 1 Aplicaci�n correcta. Un cuantificador universal puede instanciarse mediante cualquier constante.


p) 1. xPxax Pbac
2. Pbac E, 1 Aplicaci�n incorrecta. Cuando se elimina un cuantificador universal, las variables libres deben sustituirse por la misma constante de individuo.


q) l. xPax yPay
2. Paa E, 1 Ni la regla E, ni la regla I presentan restricciones
3. yPay I, 2



r) 1. Pbb xPxb
2. xPxb I,1 Aplicaci�n incorrecta. La constante �b� no es un par�metro propio de la deducci�n porque i) figura en la premisa y ii) figura en la conclusi�n.


s) l. xPxb xPxx
2. Pbb E, 1 Ni la regla E, ni la regla I presentan restricciones.
3. xPxx I, 2


t) 1. Qab xQxx
2. xQxx I, 1 Aplicaci�n incorrecta. Si bien la regla no exige que las constantes sean par�metros, exige que constantes diferentes se sustituyan por variables diferentes.


u) l. yPby yPyy
2. Pbb yPyy
3. yPyy I, 2
4. yPyy E, 2 - 3 Aplicaci�n incorrecta porque �b� no es un par�metro propio, �b� aparece en la f�rmla x[ ]x


v) l. xPax yPyb
2. Pab yPyb
3. yPyb I, 2
4. yPyb E, 2 - 3 Aplicaci�n incorrecta porque �b� no es un par�metro propio, que, si bien no aparece en la f�rmula x[ ]x, a aparece en la f�rmla final.


w) l. xPax yPay
2. Pab yPay
3. yPay I, 2 Aplicaci�n incorrecta porque �b� no es un par�metro propio. �b� aparece en un supuesto previo no cancelado.
4. yPay E, 2 - 3 Aplicaci�n correcta. �b� no aparece ni en x[ ]x, ni en la f�rmla final.




3. 4. 2. Para cada uno de los siguientes razonamientos:
1. elabore una deducci�n de su conclusi�n a partir de sus premisas, mediante reglas del m�todo de deducci�n natural que requieran par�metros.
2. en caso de que emplee supuestos y deducciones auxiliares, explicite el sub-objetivo perseguido en cada deducci�n auxiliar.
3. aseg�rese de que se cumplen las restricciones exigidas por las reglas en las que intervienen par�metros.

(pg. 153 � 154)

c) 1. zPz
2. x(PxQx) xQx
3. Pa E,1
4. PaQa E, 2
5. Qa E, 3 y 4
6. xQx I, 5 �a� es un par�metro propio porque no figura en las premisas ni en la conclusi�n ni en un supuesto no cancelado (puesto que no hay supuestos en la derivaci�n).


d) 1. xPx
2. x(PxQx) yQy
3. PaQa E, 2
4. Pa yQy
5. Qa E, 3 y 4
6. yQy I, 5
7. yQy E, 4 - 6 �a� es un par�metro porque no aparece ni en la f�rmula x[ ]x ni en la f�rmula final.


e) 1. xPxxQx x(PxQx)
2. xPx E, 1
3. xQx E, 1
4. Pa E, 2
5. Qa E, 3
6. PaQa I, 4 y 5
7. x(PxQx) I, 6 �a� es un par�metro propio porque no aparece ni en las premisas ni en la conclusi�n de la prueba.


f) 1. x(PxQxa) x(PxSxb)
2. PcQca E, 1
3. Pc E, 2
4. PcScb I, 3
5. x(PxSxb) I, 4 �c� es un par�metro porque no aparece ni en las premisas ni en la conclusi�n. Por el contrario, ni �a� ni �b� pueden fucionar como par�metros: �a� aparece en la premisa y �b�, en la conclusi�n.

g) 1. PaxQx
2. xPxy(QyRy) yRy
3. Pa E, 1
4. xQx E, 1
5. xPx I, 3
6. y(QyRy) E, 2 y 5
7. Qb E, 4
8. QbRb E, 6
9. Rb E, 7 y 8
10. yRy I, 9 �b� es un par�metro porque no aparece ni en las premisas ni en la conclusi�n. Por el contrario, �a� no podr�a funcionar como par�metro porque aparece en una de las premisas.


h) 1. x(PxbRx)
2. x(RxQbx) x(PxbQbx)
3. PabRa
4. RaQba
5. Pab Qba
6. Ra E, 3, 5
7. Qba E, 4, 6
8. PabQba I, 5- 7
9. x(PxbQbx) I, 8 �a� es un par�metro porque no aparece ni en las premisas ni en la conclusi�n del razonamiento.


i) 1. x(QxRxa)
2. y(QyPy) y(RyaPy)
3. QbRba E, 1
4. QbPb E, 2
5. Qb E, 4
6. Rba E, 3 y 5
7. Pb E, 4
8. RbaPb I, 6 y 7
9. y(RyaPy) I, 8 �b� es un par�metro porque no figura ni en las premisas ni en la conclusi�n del razonamiento. �a�, por el contrario, aparece en la premisa 1.



j) 1. x(PxQx) xPxyQy
2. PaQa xPx
3. Pa E, 2
4. xPx I, 3
5. xPx E, 2 - 4 �a� es un par�metro porque no aparece ni en la f�rmula x(PxQx) ni en la f�rmula final xPx.
6. xPxyQy I, 5


k) 1. x(PxQx) yPyyQy
2. PaQa yPyyQy
3. Pa E, 2
4. Qa E, 2
5. yPy I, 3
6. yQy I, 4
7. yPyyQy I, 5 y 6
8. yPyyQy E, 2 �7 �a� es un par�metro porque no aparece ni en la f�rmula x(PxQx) ni en la f�rmula final yPyyQy.


l) 1. y(PyQy)
2. x(PxRx) x(RxQx)
3. PaRa E, 2
4. PaQa x(RxQx)
5. Pa E, 4
6. Ra E, 3 y 5
7. Qa E, 4
8. RaQa I, 6 y 7
9. x(RxQx) I, 8
10. x(RxQx) E, 3 - 9 �a� es un par�metro porque no aparece ni en la f�rmula y(PyQy) ni en la f�rmula final x(RxQx).



m) 1. x(PxaQxa)
2. x(RxaPxa)
3. xRxa x(QxaSx)
4. PbaQba E, 1
5. RbaPba E, 2
6. Rba E, 3
7. Pba E, 5 y 6
8. Qba E, 4 y 7
9. QbaSb I, 8
10. x(QxaSx) I, 9 �b� es un par�metro porque no aparece en ninguna de las premisas ni en la conclusi�n. �a�, por el contrario, puesto que aparece en las premisas, no puede funcionar como par�metro.


n) 1. x(RxaPxa)
2. x(PxaQxa)
3. xRxaySy xzQxz
4. xRxa E, 3
5. ySy E, 3
6. RbaPba E, 1
7. PbaQba E, 2
8. Rba E, 4
9. Pba E, 6 y 8
10. Qba E, 7 y 9
11. zQbz I, 10
12. xzQxz I, 11 �b� pero no �a� es un par�metro de la deducci�n.




6.3 Ejercicios
1. Para cada uno de los siguientes razonamientos, formule una deducci�n de su conclusi�n a partir de las premisas empleando las reglas del m�todo de deducci�n natural.
2. En caso de que emplee supuestos y deducciones auxiliares, explicite el sub-objetivo perseguido en cada deducci�n auxiliar.
3. Si usa las reglas (E) o (I), aseg�rese de que se cumplan las restrucciones correspondientes.

(pg. 164 � 166)

c) 1. xPxxQx x(PxQx)
2. xPx (PaQa)
3. Pa E, 2
4. PaQa I, 3
5. xQx (PaQa)
6. Qa E, 5
7. PaQa I, 6
8. Pa Qa E, 1, 2-4, 5-7
9. x(PxQx) I, 8


d) 1. x(PxRx) xPxxRx
2. PaRa xPxxRx
3. Pa xPxxRx
4. xPx I, 3
5. xPxxRx I, 4
6. Ra xPxxRx
7. xPx I, 6
8. xPxxRx I, 7
9. xPxxRx E, 2, 3-5, 6-8
10. xPxxRx E, 1, 2-9


e) 1. PaQb
2. QbRa RaPa
3. Ra Pa
4. Pa 
5. Qb E, 1 y 4
6. Ra E, 2 y 5
7.  E, 3 y 6
8. Pa I, 4 �7
9. RaPa I, 3 - 8



f) 1. PaxQx
2. xQxyRy yRyPa
3. yRy Pa
4. Pa 
5. xQx E, 1 y 4
6. yRy E, 2 y 5
7.  E, 3 y 6
8. Pa I, 4 �7
9. yRyPa I, 3 - 8


g) 1. Pa(QaRb)
2. QaRb xPx
3. xPx 
4. Pa E, 3
5. QaRb E, 1 y 4
6. Qa 
7. Qa E, 2
8.  E, 6 y 7
9. Rb 
10. Rb E, 2
11.  E, 9 y 10
12.  E, 5, 6-8, 9-11
13. xPx I, 3-12


h) 1. y(PyaQy)
2. xPxa zQz
3. PbaQb E, 1
4. Pba E, 2
5. Qb E, 3 y 4
6. zQz I, 5

i) 1. x(Px(QxRx))
2. Qb
3. Rb xPx
4. xPx
5. Pb(QbRb) E, 1
6. Pb E, 4
7. QbRb E, 5, 6
8. Qb 
9.  E, 2, 8
10. Rb 
11  E, 3, 10
12.  E, 7, 8-9, 10-11
13. xPx I,4, 12


j) 1. x(PxQbx) xPxyQby
2. xPx yQby
3. Pa yQby
4. PaQba E, 1
5. Qba E, 3 y 4
6. yQby I, 5
7. yQby E, 2, 3-6
8. xPxyQby I, 2- 7


k) 1. y(QyRy)
2. x(PxQx) x(PxRx)
3. x(PxRx) 
4. PaQa 
5. Pa E, 4
6. Qa E, 4
7. PaRa E, 3
8. Ra E, 5 y 7
9. QaRa E, 1
10. Ra E, 6 y 9
11  E, 8 y 10
12.  E, 2, 4-11
13. x(PxRx) I, 3-12


l) 1. x(Px(QxRx))
2. x(QxRx)
3. x(RxSx) x(PxSx)
4. Pa Sa
5. Pa(QaRa) E, 1
6. QaRa E, 2
7. RaSa E, 3
8. QaRa E4 y 6
9. Qa Sa
10. Ra E, 7 y 10
11. Sa E, 8 y 11
12. Ra Sa
13. Sa E, 8 y 13
14. Sa E, 8, 9-11, 12-13
15. PaSa I, 4-14
16. x(PxSx) I, 15



m) 1. x(QxSx)
2. x((PxQx)Rx) x(PxRx)
3. QaSa PaRa
4. Pa Ra
5. (PaQa)Ra E, 2
6. Qa E, 3
7. PaQa I, 4 y 6
8. Ra E, 5 y 7
9. PaRa I,4-8
10. x(PxRx) I, 9
11. x(PxRx) E, 3-10


n) 1. x(RxPx)
2. x(PxSx)
3. x((RxQx)Sx) x((Rx(PxQx))
4. Ra (PaQa)
5. PaQa 
6. RaPa E, 1
7. PaSa E, 2
8. (RaQa)Sa E, 3
9. Pa E, 4 y 6
10. Sa E, 7 y 9
11. Qa E, 5 y 9
12. RaQa I, 4 y 11
13. Sa E,
14.  E, 10 y 13
15. (PaQa) I, 5-14
16. Ra((PaQa) I, 4-15
17 x((Rx(PxQx)) I, 16


7. 3. Ejercicios
7. 3. 1. Empleando las reglas del m�todo de deducci�n natural que no requieren supuestos, construya una deducci�n que pruebe la inconsistencia de los siguientes conjuntos de enunciados:


(pg. 170)

c) 1. QaRab
2. Rab
3. Qa 
4. Rab E, 1 y 3
5.  E, 2 y 4


d) 1. x(PxyQxy)
2. yQay
3. Pa 
4. PayQay E, 1
5. yQay E, 3 y 4
6.  E, 2 y 5


e) 1. (PaQa)(RaSa)
2. x(QxSx)
3. RaPa 
4. QaSa E, 2
5. Qa E, 4
6. Pa E, 3
7. PaQa I, 5 y 6
8. RaSa E, 1 y 7
9. Ra E, 3
10 Sa E, 8 y 9
11. Sa E, 4
12.  E, 10 y 11


f) 1. zRzx(PxQx)
2. y(QyRy)
3. Pc 
4. x(PxQx) E, 1
5. PcQc E, 4
6. Qc E, 3 y 5
7. QcRc I, 6
8. y(QyRy) I, 7
9.  E, 2 y 8



g) 1. x(PxQxa)
2. yPyzQza 
3. yPy E, 2
4. zQza E, 2
5. Qba 
6. PbQba E, 1
7. Pb 
8. y Py I 7
9.  E, 3, 8
10. Qba 
11.  E, 5, 10
12.  E, 6, 7- 9, 10- 11
13.  E, 4, 5- 12



7. 3. 2. Cada uno de los siguientes conjuntos de enunciados es inconsistente.
1. Para cada conjunto de enunciados, construya una deducci�n que pruebe su inconsistencia, empleando las reglas del m�todo de deducci�n natural.
2. En las deducciones auxiliares, explicite el sub-objetivo de cada una de ellas.

(pg. 173)

c) 1. zPza
2. xPxay(QyRy)
3. z(QzRz) 
4. Pba E, 1
5. xPxa I, 4
6. y(QyRy) E2, 5
7. QaRa E, 6
8. z(QzRz) I, 7
9.  E, 3, 8


d) 1. (PbRb)
2. x(QxaRx)
3. x(PxQxa) 
4. PbQba E, 3
5. QbaRb E, 2
6. Pb Rb
7. Qba E, 4, 6
8. Rb E, 5, 7
9. PbRb I, 6 - 8
10.  E, 1, 9


e) 1. z(QbzPbz)
2. xPxayQby
3. yPya 
4. Pca 
5. xPxa E, 2
6. Pca E, 5
7.  E, 4, 6
8.  E, 4 - 7



f) 1. zPzayQay
2. xy(PxyPyx)
3. zy(PzyPyz) 
4. y(PbyPyb) 
5. PbcPcb E, 4
6. y(PbyPyb) E, 2
7. (PbcPcb) E, 6
8. Pbc E, 5
9. Pcb E, 7, 8
10. Pcb E, 5
11.  E, 9, 10
12.  E, 4 - 11


g) 1. x(Pxy(QyRyx))
2. z(Qzy(PyRzy) 
3. Pay(QyRya) 
4. Pa E, 3
5. y(QyRya) E, 3
6. QbRba E, 5
7. Qb y(PyRby)
8. Rba E, 6, 7
9. PaRba I, 4, 8
10. y(PyRby) I, 9
11. Qby(PyRby) I, 7 - 10
12. z(Qzy(PyRzy)) I, 11
13.  E, 2, 12
14.  E, 3 - 13

8. 2. Ejercicios
8. 2. 1.. Los siguientes enunciados son casos de leyes l�gicas.
1. Para cada uno de ellos, construya una deducci�n que pruebe que son casos de leyes l�gicas, empleando las reglas del m�todo de deducci�n natural que no requieren par�metros.
2. Especifique el sub-objetivo perseguido en las deducciones auxiliares.

(pg. 178- 179)

c) (QabQab)Qab

1. QabQab Qab
2. Qab 
3. Qab E, 1 y 2
4.  E, 2 y 3
5. Qab I, 2-4
6. (QabQab)Qab I, 1-5

d) xPxxPx

1. xPx xPx
2. Pa E, 1
3. xPx I, 2
4. xPxxPx I, 1-3

e) xQx(xPxxQx)

1. xQx xPxxQx
2. xPx xQx
3. xQx Rep, 1
4. xPxxQx I, 2-3
5. xQx(xPxxQx) I, 1-4

f) (PaRb)((QabRb)((PaQab)Rb)

1. PaRb ((QabRb)((PaQab)Rb)
2. QabRb (PaQab)Rb
3. (PaQab) Rb
4. Pa Rb
5. Rb E, 1 y 4
6. Qab Rb
7. Rb E, 2 y 6
8. Rb E, 3, 4-5, 6-7
9. (PaQab)Rb I, 3-8
10. ((QabRb)((PaQab)Rb) I, 2- 9
11. (PaRb)((QabRb)((PaQab)Rb) I, 1-10

g) x(PxQx)(xPxxQx)

1. x(PxQx) xPxxQx
2. PaQa E, 1
3. Pa E, 2
4. Qa E, 2
5. xPx I, 3
6. xQx I, 4
7. xPxxQx I, 5 y 6
8. x(PxQx)(xPxxQx) I, 1-7

h) x(PxQx)x(PxQx)

1. x(PxQx) x(PxQx)
2. (PaQa) 
3. PaQa E, 1
4. Pa E, 2
5. Qa E, 3 y 4
6. Qa E, 2
7.  E, 5 y 6
8. (PaQa) I, 3-7
9. x(PxQx) I, 8
10. x(PxQx)x(PxQx) I, 1-10

i) (xPxxQx) x(PxQx)

1. xPxxQx x(PxQx)
2. xQx E, 1
3. Qa E, 2
4. PaQa I, 3
5. x(PxQx) I, 4
6. (xPxxQx) x(PxQx) I, 1-5

8. 2. 2. Los siguientes enunciados son casos de leyes l�gicas.
1. Empleando las reglas del m�todo de deducci�n natural, pruebe que estos enunciados son casos de leyes l�gicas.
2. Explicite el sub-objetivo perseguido en las deducciones auxiliares.
3. Si usa las reglas (E) y/o (I), aseg�rese de que se cumplan las restricciones correspondientes.

(pg. 181 � 182)

b) (xPxxQx)x(PxQx)

1. xPxxQx x(PxQx)
2. xPx E, 1
3. xQx E, 1
4. Pa E, 2
5. Qa E, 3
6. PaQa I, 3 y 4
7. x(PxQx) I, 6
8. (xPxxQx)x(PxQx) I, 1-7

c) (xPxyPy) (yPyxPx)

1. xPx yPy
2. Pa E, 1
3. yPy I, 2
4. xPxyPy I, 1-3
5. yPy xPx
6. Pa
7. xPx I, 6
8. yPyxPx I, 5-7
9. (xPxyPy) (yPyxPx) I, 4 y 8


d) (xPxyPy)( yPyxPx)

1. xPx yPy
2. Pa yPy
3. yPy I, 2
4. yPy E, 1, 2-3
5. xPxyPy I, 1-4
6. yPy xPx
7. Pa xPx
8. xPx I, 7
9. xPx E, 6, 7-8
10. yPyxPx I, 6-9
11. (xPxyPy)( yPyxPx) I, 5 y 10



e) x(Px(PxyQxy))

1. Pa Pa(yQay)
2. Pa(yQay) I, 1
3. Pa(PayQay) I, 1-2
4. x(Px(PxyQxy)) I, 3


g) x(PxQx)xPxxQx

1. x(PxQx) xPxxQx
2. PaQa xPxxQx
3. Pa E, 2
4. xPx I, 3
5. Qa E, 2
6. xQx I, 5
7. xPxxQx I, 4 y 6
8. xPxxQx
x(PxQx)xPxxQx E, 1, 2-7
9. I, 1-8


h) (xPxxQx) x(PxQx)

1. xPxxQx
xPx x(PxQx)
2. E, 1
3. Pa x(PxQx)
4. Qa E, 1
5. PaQa I, 3 y 4
6. x(PxQx) I, 5
7. x(PxQx) E, 2, 3-6
8. (xPxxQx) x(PxQx) I, 1-8


i) x(PxRx) (xPxxRx)

1. x(PxRx) xPxxRx
2. xPx xRx
3. Pa E, 2
4. PaRa E, 1
5. Ra E, 3 y 4
6. xRx I, 5
7. xPxxRx
8. x(PxRx) (xPxxRx) I, 1-7





j) x(PxQx) (xPxxQx)

1. x(PxQx) xPxxQx
2. xPx xQx
3. Pa xQx
4. PaQa E, 1
5. Qa E, 3 y 4
6. xQx I, 5
7. xQx E, 2-6
8. xPxxQx I, 2-7
9. x(PxQx) (xPxxQx) I, 1-8


k) xy(((PxyQxy)(zRzQxy))Pxy)

1. ((PabQab)(zRzQab)) Pab
2. PabQab E, 3
3. zRzQab E, 3
4. Qab E, 5
5. Pab 
6. Qab E, 4, 7
7.  E, 6, 8
8. Pab I, 5- 7
9. ((PabQab)(zRzQab)) Pab I, 1- 8
10. y(((PayQay)(zRzQay)) Pay) I, 9
11. xy(((PxyQxy)(zRzQxy)) Pxy) I, 10


l) (xPx(QaRa))((QaxPx)Ra)

1. (xPx(QaRa)) (QaxPx)Ra)
2. (QaxPx) Ra
3. xPx E, 2
4. QaRa E, 1, 3
5. Qa Ra
6. Ra 
7. Qa E, 2
8.  E, 5- 7
9. Ra I, 7 - 8
10. Ra DN, 9
11. Ra Ra
12. Ra Rep. 11
13. Ra E, 4, 5- 10, 11 - 12
14. (QaxPx)Ra) I, 2 - 13
15 (xPx(QaRa))(QaxPx)Ra)) I, 1 - 14

m) x(y(PxyQy)(QxyPxy)

1. (PabPb) QayPay
2. Qa yPay
3. Pab E, 1
4. yPay I, 3
5. QayPay I, 2 - 4
6. (PabPb)(QayPay) I,
7. y(PayQy)(QayPay) I, 6
8. x(y(PxyQy)(QxyPxy) I, 7