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Curso de Ingreso Guia de Ejercicios Unidad 4 2006 Altillo.com

1.5 Ejercicios
1.5.1. En las siguientes deducciones:
1. Indique qué reglas de inferencia del método de deducción natural se aplicaron en cada uno de los pasos.
2. Explicite la estructura lógica de estas reglas de inferencia.
3. Señale qué premisas o enunciados se emplearon en cada caso.
4. Responda las preguntas que se formulan en cada caso.

(pg. 115 - 116)

d) 1. Pa
2. PbQab Pa(PbQab)
3. Pa(PbQab) I, 1,2


e) 1. (RabQab)(RabPb) RabPb
2. RabPb


f) 1. QbxPx
2. (xPxQa)Rab RabQb
3. Qb E, 1
4. Rab E, 2
5. RabQb I, 3, 4


g) 1. QaySy
2. (QaySy)(PabRb) PabRb
3. PabRb E1,2


h) 1. Qb
2. Rac(RacQc) QcQb
3. Rac E, 2
4. RacQc E, 2
5. Qc E, 3, 4
6. QcQb I, 1, 5


i) 1. x(PxQbx) PaQba
2. PaQba E, 1


j) 1. QbPb
2. x(QxRxa) Rba
3. Qb E, 1
4. QbRba E, 2
5. Rba E, 3, 4

k) 1. RacQa
2. Pa x(PxRxc)
3. Rac E, 1
4. PaRac I, 2, 3
5 x(PxRxc) I, 4


l) 1. PaQab
2. PaPb PbxRx
3. Pa E, 1
4. Pb E, 2, 3
5 PbxRx I, 4


1.5.2. Construya una deducción de la conclusión de cada uno de los siguientes razonamientos a partir de sus premisas, empleando las reglas del método de deducción natural que no requieran supuestos.

(pg.120 – 122)


d) 1. RaPc
2. RcQac Ra(RcQac)
3. Ra E, 1
4. Ra(RcQac) I, 2 y 3


e) 1. RabPa
2. (RabQab)(RabPb) Pb
3. (RabPb) E, 2
4. Rab E, 1
5. Pb E, 3 y 4


f) 1. PabySy
2. Pab ySyQb
3. ySy E, 1 y 2
4. ySyQb I, 3


g) 1. Pb
2. x((PxQx)Rax) Rab
3. (PbQb)Rab E, 2
4. PbQb I, 1
5. Rab E, 3 y 4


h) 1. x(PxaPxb)
2. Pca Pcb
3. PcaPcb E, 1
4. Pcb E, 3 y 4


i) 1. QaySy
2. (QaySy)(PabRb) xRx
3. (PabRb) E, 1 y 2
4. Rb E, 3
5. xRx I, 4



j) 1. (PaQa)Sab
2. PaQa zSaz
3. Pa E,2
4. PaQa I,3
5. Sab E, 1 y 4
6. zSaz I, 5


k) 1. xRx
2. RbyPy zPz
3. Rb E,1
4. yPy E, 2 y 3
5. Pa E, 4
6. zPz I, 5


l) 1. xPxxQx x(PxQx)
2. xPx E, 1
3. xQx E, 1
4. Pa E, 2
5. Qa E, 3
6. PaQa I, 4 y 5
7. x(PxQx) I, 6


m) 1. SaxPx
2. xPxRc
3. Sa xRxQb
4. xPx E, 1 y 3
5. Rc E, 2 y 4
6. xRx I, 5
7. xRxQb I, 6


n) 1. Pay(QyRy)
2. y(QyRy)Sa
3. PaTa x(SxTx)
4. Pa E, 3
5. y(QyRy) E, 1 y 4
6. Sa E, 2 y 5
7. Ta E, 3
8. SaTa I, 6 y 7
9. x(SxTx) I, 8



2.5 Ejercicios
Para cada uno de los siguientes razonamientos, elabore una deducción de su conclusión a partir de sus premisas, empleando reglas del método de deducción natural que requieran la introducción de supuestos y deducciones auxiliares. Indique cuál es el sub-objetivo perseguido en cada deducción auxiliar.

(pg. 135-136)


d) 1. PaQa
2. (QaPa)Rb PaRb
3. Pa Rb
4. Qa E, 1 y 3
5. PaQa I, 3 y 4
6. Rb E, 2 y 5
7. Rb DN, 6
8. PaRb I, 3 - 8


e) 1. Qa x(PxQx)
2. Pa Qa
3. Qa Rep, 1
4. PaQa I, 2 - 3
5. x(PxQx) I, 4


f) 1. (PbQb)(xRxSb)
2. xRx y(PyQy)
3. y(PyQy) 
4. PbQb E, 3
5. xRxSb E, 1 y 4
6. xRx E, 5
7.  E, 2 y 6
8. y(PyQy) I, 3 - 7


g) 1. x(PxQxa)
2. Qca PcyRy
3. Pc 
4. PcQca E, 1
5. Qca E, 3 y 4
6.  E, 2 y 5
7. Pc I, 3 – 6
8. PcyRy I, 7



h) 1. PaQb
2. y(QySy)Ra (PaTb)Ra
3. PaTb Ra
4. Pa E, 3
5. Qb E, 1 y 4
6. QbSb I, 5
7. y(QySy) I,6
8. Ra E, 2 y 7
9. (PaTb)Ra I, 3 - 8


i) 1. xPxQa
2. yRySa
3. x(SxQx)Tb (xPxyRy)Tb
4. (xPxyRy) Tb
5. xPx E, 4
6. yRy E, 4
7. Qa E, 1 y 5
8. Sa E, 2 y 6
9. SaQa I, 7 y 8
10. x(SxQx) I, 9
11. Tb E, 3 y 10
12. (xPxyRy)Tb I, 4 - 11


j) 1. x(PxQx)
2. x(RxSx)
3. x(PxRx) x(QxSx)
4. PaQa E, 1
5. RaSa E, 2
6. PaRa E, 3
7. Pa QaSa
8. Qa E, 4 y 7
9. QaSa I, 8
10. Ra QaSa
11. Sa E, 5 y 10
12. QaSa I, 11
13. QaSa E, 6, 7-9, 10-12
14. x(QxSx) I, 13



k) 1. PabQa
2. RbQa (RbPab)
3. (RbPab) 
4. Rb E, 3
5. Pab E, 3
6. Qa E1, 5
7. Qa E2, 4
8.  E, 6, 7
9. (RbPab) I, 3 – 8


l) 1. y(PyQy)
2. x(RxPx)
3. yQy xRx
4. xRx 
5. PaQa E, 1
6. RaPa E, 2
7. Ra E, 4
8. Pa E, 6 y 7
9. Qa E, 5 y 8
10. Qa E, 3
11.  E, 9 y 10
12. xRx I, 4 - 11


3. 4 Ejercicios
3. 4. 1. En cada una de las siguientes deducciones
1. Indique qué reglas del sistema se aplicaron
2. Determine si esas reglas se aplicaron correctamente
3. si encuentra algún error, explique en qué consiste.

(pg. 145 – 147)

l) l. xPxx yPby
2. Pbb E, 1 Ni la regla E, ni la regla I presentan restricciones
3. yPby I, 2


ll) 1. xPxa xyPxy
2. xyPxy I,1 Aplicación incorrecta porque ‘a’ no es un parámetro propio, ya que ‘a’ está en la premisa.


m) 1. Pbb xPxb
2. xPxb I,1 Aplicación correcta.


n) 1. xPxax xPxaa
2. xPxaa ¿? Regla incorrecta. Para poder sustituirse toda aparición de la variable ‘x’ por la constante ‘a’, debe eliminarse el cuantificador


ñ) 1. xPxax Paaa
2. Paaa E, 1 Aplicación correcta. Un cuantificador universal puede instanciarse mediante cualquier constante, inclusive con una constante que figura en una premisa.


o) 1. xPxax Pbab
2. Pbab E, 1 Aplicación correcta. Un cuantificador universal puede instanciarse mediante cualquier constante.


p) 1. xPxax Pbac
2. Pbac E, 1 Aplicación incorrecta. Cuando se elimina un cuantificador universal, las variables libres deben sustituirse por la misma constante de individuo.


q) l. xPax yPay
2. Paa E, 1 Ni la regla E, ni la regla I presentan restricciones
3. yPay I, 2



r) 1. Pbb xPxb
2. xPxb I,1 Aplicación incorrecta. La constante ‘b’ no es un parámetro propio de la deducción porque i) figura en la premisa y ii) figura en la conclusión.


s) l. xPxb xPxx
2. Pbb E, 1 Ni la regla E, ni la regla I presentan restricciones.
3. xPxx I, 2


t) 1. Qab xQxx
2. xQxx I, 1 Aplicación incorrecta. Si bien la regla no exige que las constantes sean parámetros, exige que constantes diferentes se sustituyan por variables diferentes.


u) l. yPby yPyy
2. Pbb yPyy
3. yPyy I, 2
4. yPyy E, 2 - 3 Aplicación incorrecta porque ‘b’ no es un parámetro propio, ‘b’ aparece en la fórmla x[ ]x


v) l. xPax yPyb
2. Pab yPyb
3. yPyb I, 2
4. yPyb E, 2 - 3 Aplicación incorrecta porque ‘b’ no es un parámetro propio, que, si bien no aparece en la fórmula x[ ]x, a aparece en la fórmla final.


w) l. xPax yPay
2. Pab yPay
3. yPay I, 2 Aplicación incorrecta porque ‘b’ no es un parámetro propio. ‘b’ aparece en un supuesto previo no cancelado.
4. yPay E, 2 - 3 Aplicación correcta. ‘b’ no aparece ni en x[ ]x, ni en la fórmla final.




3. 4. 2. Para cada uno de los siguientes razonamientos:
1. elabore una deducción de su conclusión a partir de sus premisas, mediante reglas del método de deducción natural que requieran parámetros.
2. en caso de que emplee supuestos y deducciones auxiliares, explicite el sub-objetivo perseguido en cada deducción auxiliar.
3. asegúrese de que se cumplen las restricciones exigidas por las reglas en las que intervienen parámetros.

(pg. 153 – 154)

c) 1. zPz
2. x(PxQx) xQx
3. Pa E,1
4. PaQa E, 2
5. Qa E, 3 y 4
6. xQx I, 5 ‘a’ es un parámetro propio porque no figura en las premisas ni en la conclusión ni en un supuesto no cancelado (puesto que no hay supuestos en la derivación).


d) 1. xPx
2. x(PxQx) yQy
3. PaQa E, 2
4. Pa yQy
5. Qa E, 3 y 4
6. yQy I, 5
7. yQy E, 4 - 6 ‘a’ es un parámetro porque no aparece ni en la fórmula x[ ]x ni en la fórmula final.


e) 1. xPxxQx x(PxQx)
2. xPx E, 1
3. xQx E, 1
4. Pa E, 2
5. Qa E, 3
6. PaQa I, 4 y 5
7. x(PxQx) I, 6 ‘a’ es un parámetro propio porque no aparece ni en las premisas ni en la conclusión de la prueba.


f) 1. x(PxQxa) x(PxSxb)
2. PcQca E, 1
3. Pc E, 2
4. PcScb I, 3
5. x(PxSxb) I, 4 ‘c’ es un parámetro porque no aparece ni en las premisas ni en la conclusión. Por el contrario, ni ‘a’ ni ‘b’ pueden fucionar como parámetros: ‘a’ aparece en la premisa y ‘b’, en la conclusión.

g) 1. PaxQx
2. xPxy(QyRy) yRy
3. Pa E, 1
4. xQx E, 1
5. xPx I, 3
6. y(QyRy) E, 2 y 5
7. Qb E, 4
8. QbRb E, 6
9. Rb E, 7 y 8
10. yRy I, 9 ‘b’ es un parámetro porque no aparece ni en las premisas ni en la conclusión. Por el contrario, ‘a’ no podría funcionar como parámetro porque aparece en una de las premisas.


h) 1. x(PxbRx)
2. x(RxQbx) x(PxbQbx)
3. PabRa
4. RaQba
5. Pab Qba
6. Ra E, 3, 5
7. Qba E, 4, 6
8. PabQba I, 5- 7
9. x(PxbQbx) I, 8 ‘a’ es un parámetro porque no aparece ni en las premisas ni en la conclusión del razonamiento.


i) 1. x(QxRxa)
2. y(QyPy) y(RyaPy)
3. QbRba E, 1
4. QbPb E, 2
5. Qb E, 4
6. Rba E, 3 y 5
7. Pb E, 4
8. RbaPb I, 6 y 7
9. y(RyaPy) I, 8 ‘b’ es un parámetro porque no figura ni en las premisas ni en la conclusión del razonamiento. ‘a’, por el contrario, aparece en la premisa 1.



j) 1. x(PxQx) xPxyQy
2. PaQa xPx
3. Pa E, 2
4. xPx I, 3
5. xPx E, 2 - 4 ‘a’ es un parámetro porque no aparece ni en la fórmula x(PxQx) ni en la fórmula final xPx.
6. xPxyQy I, 5


k) 1. x(PxQx) yPyyQy
2. PaQa yPyyQy
3. Pa E, 2
4. Qa E, 2
5. yPy I, 3
6. yQy I, 4
7. yPyyQy I, 5 y 6
8. yPyyQy E, 2 –7 ‘a’ es un parámetro porque no aparece ni en la fórmula x(PxQx) ni en la fórmula final yPyyQy.


l) 1. y(PyQy)
2. x(PxRx) x(RxQx)
3. PaRa E, 2
4. PaQa x(RxQx)
5. Pa E, 4
6. Ra E, 3 y 5
7. Qa E, 4
8. RaQa I, 6 y 7
9. x(RxQx) I, 8
10. x(RxQx) E, 3 - 9 ‘a’ es un parámetro porque no aparece ni en la fórmula y(PyQy) ni en la fórmula final x(RxQx).



m) 1. x(PxaQxa)
2. x(RxaPxa)
3. xRxa x(QxaSx)
4. PbaQba E, 1
5. RbaPba E, 2
6. Rba E, 3
7. Pba E, 5 y 6
8. Qba E, 4 y 7
9. QbaSb I, 8
10. x(QxaSx) I, 9 ‘b’ es un parámetro porque no aparece en ninguna de las premisas ni en la conclusión. ‘a’, por el contrario, puesto que aparece en las premisas, no puede funcionar como parámetro.


n) 1. x(RxaPxa)
2. x(PxaQxa)
3. xRxaySy xzQxz
4. xRxa E, 3
5. ySy E, 3
6. RbaPba E, 1
7. PbaQba E, 2
8. Rba E, 4
9. Pba E, 6 y 8
10. Qba E, 7 y 9
11. zQbz I, 10
12. xzQxz I, 11 ‘b’ pero no ‘a’ es un parámetro de la deducción.




6.3 Ejercicios
1. Para cada uno de los siguientes razonamientos, formule una deducción de su conclusión a partir de las premisas empleando las reglas del método de deducción natural.
2. En caso de que emplee supuestos y deducciones auxiliares, explicite el sub-objetivo perseguido en cada deducción auxiliar.
3. Si usa las reglas (E) o (I), asegúrese de que se cumplan las restrucciones correspondientes.

(pg. 164 – 166)

c) 1. xPxxQx x(PxQx)
2. xPx (PaQa)
3. Pa E, 2
4. PaQa I, 3
5. xQx (PaQa)
6. Qa E, 5
7. PaQa I, 6
8. Pa Qa E, 1, 2-4, 5-7
9. x(PxQx) I, 8


d) 1. x(PxRx) xPxxRx
2. PaRa xPxxRx
3. Pa xPxxRx
4. xPx I, 3
5. xPxxRx I, 4
6. Ra xPxxRx
7. xPx I, 6
8. xPxxRx I, 7
9. xPxxRx E, 2, 3-5, 6-8
10. xPxxRx E, 1, 2-9


e) 1. PaQb
2. QbRa RaPa
3. Ra Pa
4. Pa 
5. Qb E, 1 y 4
6. Ra E, 2 y 5
7.  E, 3 y 6
8. Pa I, 4 –7
9. RaPa I, 3 - 8



f) 1. PaxQx
2. xQxyRy yRyPa
3. yRy Pa
4. Pa 
5. xQx E, 1 y 4
6. yRy E, 2 y 5
7.  E, 3 y 6
8. Pa I, 4 –7
9. yRyPa I, 3 - 8


g) 1. Pa(QaRb)
2. QaRb xPx
3. xPx 
4. Pa E, 3
5. QaRb E, 1 y 4
6. Qa 
7. Qa E, 2
8.  E, 6 y 7
9. Rb 
10. Rb E, 2
11.  E, 9 y 10
12.  E, 5, 6-8, 9-11
13. xPx I, 3-12


h) 1. y(PyaQy)
2. xPxa zQz
3. PbaQb E, 1
4. Pba E, 2
5. Qb E, 3 y 4
6. zQz I, 5

i) 1. x(Px(QxRx))
2. Qb
3. Rb xPx
4. xPx
5. Pb(QbRb) E, 1
6. Pb E, 4
7. QbRb E, 5, 6
8. Qb 
9.  E, 2, 8
10. Rb 
11  E, 3, 10
12.  E, 7, 8-9, 10-11
13. xPx I,4, 12


j) 1. x(PxQbx) xPxyQby
2. xPx yQby
3. Pa yQby
4. PaQba E, 1
5. Qba E, 3 y 4
6. yQby I, 5
7. yQby E, 2, 3-6
8. xPxyQby I, 2- 7


k) 1. y(QyRy)
2. x(PxQx) x(PxRx)
3. x(PxRx) 
4. PaQa 
5. Pa E, 4
6. Qa E, 4
7. PaRa E, 3
8. Ra E, 5 y 7
9. QaRa E, 1
10. Ra E, 6 y 9
11  E, 8 y 10
12.  E, 2, 4-11
13. x(PxRx) I, 3-12


l) 1. x(Px(QxRx))
2. x(QxRx)
3. x(RxSx) x(PxSx)
4. Pa Sa
5. Pa(QaRa) E, 1
6. QaRa E, 2
7. RaSa E, 3
8. QaRa E4 y 6
9. Qa Sa
10. Ra E, 7 y 10
11. Sa E, 8 y 11
12. Ra Sa
13. Sa E, 8 y 13
14. Sa E, 8, 9-11, 12-13
15. PaSa I, 4-14
16. x(PxSx) I, 15



m) 1. x(QxSx)
2. x((PxQx)Rx) x(PxRx)
3. QaSa PaRa
4. Pa Ra
5. (PaQa)Ra E, 2
6. Qa E, 3
7. PaQa I, 4 y 6
8. Ra E, 5 y 7
9. PaRa I,4-8
10. x(PxRx) I, 9
11. x(PxRx) E, 3-10


n) 1. x(RxPx)
2. x(PxSx)
3. x((RxQx)Sx) x((Rx(PxQx))
4. Ra (PaQa)
5. PaQa 
6. RaPa E, 1
7. PaSa E, 2
8. (RaQa)Sa E, 3
9. Pa E, 4 y 6
10. Sa E, 7 y 9
11. Qa E, 5 y 9
12. RaQa I, 4 y 11
13. Sa E,
14.  E, 10 y 13
15. (PaQa) I, 5-14
16. Ra((PaQa) I, 4-15
17 x((Rx(PxQx)) I, 16


7. 3. Ejercicios
7. 3. 1. Empleando las reglas del método de deducción natural que no requieren supuestos, construya una deducción que pruebe la inconsistencia de los siguientes conjuntos de enunciados:


(pg. 170)

c) 1. QaRab
2. Rab
3. Qa 
4. Rab E, 1 y 3
5.  E, 2 y 4


d) 1. x(PxyQxy)
2. yQay
3. Pa 
4. PayQay E, 1
5. yQay E, 3 y 4
6.  E, 2 y 5


e) 1. (PaQa)(RaSa)
2. x(QxSx)
3. RaPa 
4. QaSa E, 2
5. Qa E, 4
6. Pa E, 3
7. PaQa I, 5 y 6
8. RaSa E, 1 y 7
9. Ra E, 3
10 Sa E, 8 y 9
11. Sa E, 4
12.  E, 10 y 11


f) 1. zRzx(PxQx)
2. y(QyRy)
3. Pc 
4. x(PxQx) E, 1
5. PcQc E, 4
6. Qc E, 3 y 5
7. QcRc I, 6
8. y(QyRy) I, 7
9.  E, 2 y 8



g) 1. x(PxQxa)
2. yPyzQza 
3. yPy E, 2
4. zQza E, 2
5. Qba 
6. PbQba E, 1
7. Pb 
8. y Py I 7
9.  E, 3, 8
10. Qba 
11.  E, 5, 10
12.  E, 6, 7- 9, 10- 11
13.  E, 4, 5- 12



7. 3. 2. Cada uno de los siguientes conjuntos de enunciados es inconsistente.
1. Para cada conjunto de enunciados, construya una deducción que pruebe su inconsistencia, empleando las reglas del método de deducción natural.
2. En las deducciones auxiliares, explicite el sub-objetivo de cada una de ellas.

(pg. 173)

c) 1. zPza
2. xPxay(QyRy)
3. z(QzRz) 
4. Pba E, 1
5. xPxa I, 4
6. y(QyRy) E2, 5
7. QaRa E, 6
8. z(QzRz) I, 7
9.  E, 3, 8


d) 1. (PbRb)
2. x(QxaRx)
3. x(PxQxa) 
4. PbQba E, 3
5. QbaRb E, 2
6. Pb Rb
7. Qba E, 4, 6
8. Rb E, 5, 7
9. PbRb I, 6 - 8
10.  E, 1, 9


e) 1. z(QbzPbz)
2. xPxayQby
3. yPya 
4. Pca 
5. xPxa E, 2
6. Pca E, 5
7.  E, 4, 6
8.  E, 4 - 7



f) 1. zPzayQay
2. xy(PxyPyx)
3. zy(PzyPyz) 
4. y(PbyPyb) 
5. PbcPcb E, 4
6. y(PbyPyb) E, 2
7. (PbcPcb) E, 6
8. Pbc E, 5
9. Pcb E, 7, 8
10. Pcb E, 5
11.  E, 9, 10
12.  E, 4 - 11


g) 1. x(Pxy(QyRyx))
2. z(Qzy(PyRzy) 
3. Pay(QyRya) 
4. Pa E, 3
5. y(QyRya) E, 3
6. QbRba E, 5
7. Qb y(PyRby)
8. Rba E, 6, 7
9. PaRba I, 4, 8
10. y(PyRby) I, 9
11. Qby(PyRby) I, 7 - 10
12. z(Qzy(PyRzy)) I, 11
13.  E, 2, 12
14.  E, 3 - 13

8. 2. Ejercicios
8. 2. 1.. Los siguientes enunciados son casos de leyes lógicas.
1. Para cada uno de ellos, construya una deducción que pruebe que son casos de leyes lógicas, empleando las reglas del método de deducción natural que no requieren parámetros.
2. Especifique el sub-objetivo perseguido en las deducciones auxiliares.

(pg. 178- 179)

c) (QabQab)Qab

1. QabQab Qab
2. Qab 
3. Qab E, 1 y 2
4.  E, 2 y 3
5. Qab I, 2-4
6. (QabQab)Qab I, 1-5

d) xPxxPx

1. xPx xPx
2. Pa E, 1
3. xPx I, 2
4. xPxxPx I, 1-3

e) xQx(xPxxQx)

1. xQx xPxxQx
2. xPx xQx
3. xQx Rep, 1
4. xPxxQx I, 2-3
5. xQx(xPxxQx) I, 1-4

f) (PaRb)((QabRb)((PaQab)Rb)

1. PaRb ((QabRb)((PaQab)Rb)
2. QabRb (PaQab)Rb
3. (PaQab) Rb
4. Pa Rb
5. Rb E, 1 y 4
6. Qab Rb
7. Rb E, 2 y 6
8. Rb E, 3, 4-5, 6-7
9. (PaQab)Rb I, 3-8
10. ((QabRb)((PaQab)Rb) I, 2- 9
11. (PaRb)((QabRb)((PaQab)Rb) I, 1-10

g) x(PxQx)(xPxxQx)

1. x(PxQx) xPxxQx
2. PaQa E, 1
3. Pa E, 2
4. Qa E, 2
5. xPx I, 3
6. xQx I, 4
7. xPxxQx I, 5 y 6
8. x(PxQx)(xPxxQx) I, 1-7

h) x(PxQx)x(PxQx)

1. x(PxQx) x(PxQx)
2. (PaQa) 
3. PaQa E, 1
4. Pa E, 2
5. Qa E, 3 y 4
6. Qa E, 2
7.  E, 5 y 6
8. (PaQa) I, 3-7
9. x(PxQx) I, 8
10. x(PxQx)x(PxQx) I, 1-10

i) (xPxxQx) x(PxQx)

1. xPxxQx x(PxQx)
2. xQx E, 1
3. Qa E, 2
4. PaQa I, 3
5. x(PxQx) I, 4
6. (xPxxQx) x(PxQx) I, 1-5

8. 2. 2. Los siguientes enunciados son casos de leyes lógicas.
1. Empleando las reglas del método de deducción natural, pruebe que estos enunciados son casos de leyes lógicas.
2. Explicite el sub-objetivo perseguido en las deducciones auxiliares.
3. Si usa las reglas (E) y/o (I), asegúrese de que se cumplan las restricciones correspondientes.

(pg. 181 – 182)

b) (xPxxQx)x(PxQx)

1. xPxxQx x(PxQx)
2. xPx E, 1
3. xQx E, 1
4. Pa E, 2
5. Qa E, 3
6. PaQa I, 3 y 4
7. x(PxQx) I, 6
8. (xPxxQx)x(PxQx) I, 1-7

c) (xPxyPy) (yPyxPx)

1. xPx yPy
2. Pa E, 1
3. yPy I, 2
4. xPxyPy I, 1-3
5. yPy xPx
6. Pa
7. xPx I, 6
8. yPyxPx I, 5-7
9. (xPxyPy) (yPyxPx) I, 4 y 8


d) (xPxyPy)( yPyxPx)

1. xPx yPy
2. Pa yPy
3. yPy I, 2
4. yPy E, 1, 2-3
5. xPxyPy I, 1-4
6. yPy xPx
7. Pa xPx
8. xPx I, 7
9. xPx E, 6, 7-8
10. yPyxPx I, 6-9
11. (xPxyPy)( yPyxPx) I, 5 y 10



e) x(Px(PxyQxy))

1. Pa Pa(yQay)
2. Pa(yQay) I, 1
3. Pa(PayQay) I, 1-2
4. x(Px(PxyQxy)) I, 3


g) x(PxQx)xPxxQx

1. x(PxQx) xPxxQx
2. PaQa xPxxQx
3. Pa E, 2
4. xPx I, 3
5. Qa E, 2
6. xQx I, 5
7. xPxxQx I, 4 y 6
8. xPxxQx
x(PxQx)xPxxQx E, 1, 2-7
9. I, 1-8


h) (xPxxQx) x(PxQx)

1. xPxxQx
xPx x(PxQx)
2. E, 1
3. Pa x(PxQx)
4. Qa E, 1
5. PaQa I, 3 y 4
6. x(PxQx) I, 5
7. x(PxQx) E, 2, 3-6
8. (xPxxQx) x(PxQx) I, 1-8


i) x(PxRx) (xPxxRx)

1. x(PxRx) xPxxRx
2. xPx xRx
3. Pa E, 2
4. PaRa E, 1
5. Ra E, 3 y 4
6. xRx I, 5
7. xPxxRx
8. x(PxRx) (xPxxRx) I, 1-7





j) x(PxQx) (xPxxQx)

1. x(PxQx) xPxxQx
2. xPx xQx
3. Pa xQx
4. PaQa E, 1
5. Qa E, 3 y 4
6. xQx I, 5
7. xQx E, 2-6
8. xPxxQx I, 2-7
9. x(PxQx) (xPxxQx) I, 1-8


k) xy(((PxyQxy)(zRzQxy))Pxy)

1. ((PabQab)(zRzQab)) Pab
2. PabQab E, 3
3. zRzQab E, 3
4. Qab E, 5
5. Pab 
6. Qab E, 4, 7
7.  E, 6, 8
8. Pab I, 5- 7
9. ((PabQab)(zRzQab)) Pab I, 1- 8
10. y(((PayQay)(zRzQay)) Pay) I, 9
11. xy(((PxyQxy)(zRzQxy)) Pxy) I, 10


l) (xPx(QaRa))((QaxPx)Ra)

1. (xPx(QaRa)) (QaxPx)Ra)
2. (QaxPx) Ra
3. xPx E, 2
4. QaRa E, 1, 3
5. Qa Ra
6. Ra 
7. Qa E, 2
8.  E, 5- 7
9. Ra I, 7 - 8
10. Ra DN, 9
11. Ra Ra
12. Ra Rep. 11
13. Ra E, 4, 5- 10, 11 - 12
14. (QaxPx)Ra) I, 2 - 13
15 (xPx(QaRa))(QaxPx)Ra)) I, 1 - 14

m) x(y(PxyQy)(QxyPxy)

1. (PabPb) QayPay
2. Qa yPay
3. Pab E, 1
4. yPay I, 3
5. QayPay I, 2 - 4
6. (PabPb)(QayPay) I,
7. y(PayQy)(QayPay) I, 6
8. x(y(PxyQy)(QxyPxy) I, 7